中考热点,令人心烦的几何背景下的阅读理解问

中考热点,令人心烦的几何背景下的阅读理解问

时间:2020-02-13 09:01 作者:admin 点击:
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如今中考题型越来越活,从近几年全国各地中考数学试卷来看,阅读理解类问题已经逐渐成为中考数学的一大热点、新题型。阅读理解往往是先给一个材料,或介绍一个超纲的知识,或给出针对某一种题目的解法,然后再给条件出题。这类问题一般的特点是题目篇幅较长,信息量大,内容涉及知识点较多,各种条件关系错综复杂,解法多样灵活。

阅读理解题主要类型有:阅读特殊范例,推出一般结论;阅读解题过程,总结解题思路和方法;阅读新知识,研究新应用等,这类试题取材广泛,题目的灵活性较大,意在引导学生阅读和理解能力的养成.下面以几何背景下的阅读理解问题为例,说明这类问题解题类型及解题攻略

类型1 新定义 型

1.(2019秋房山区期末)定义:若一个三角形中,其中有一个内角是另外一个内角的一半,则这样的三角形叫做“半角三角形”.例如:等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形ABC中,∠BAC>90°,∠ACB=α,∠ABC=β,过点A的直线l交BC边于点D.点E在直线l上,且BC=BE.

(1)若AB=AC,点E在AD延长线上.

①当α=30°,点D恰好为BC中点时,依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”:   ________________;

②如图2,若∠BAE=2α,图中是否存在“半角三角形”(△ABD除外),若存在,请写出图中的“半角三角形”,并证明;若不存在,请说明理由;

(2)如图3,若AB<AC,保持∠BEA的度数与(1)中②的结论相同,请直接写出∠BAE,α,β满足的数量关系:_______.

【解析】本题是三角形综合题,考查了等腰三角形的判定和性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,“半角三角形”的定义等知识,解题的关键是正确理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题.

(1)①如图1,图中的一个“半角三角形”:△ABD或△ACD或△BDE或△ABE;

故答案为:△ABD或△ACD或△BDE或△ABE.

②存在,“半角三角形”为△BAE.

如图2,延长DA到F,使得AF=AC,连接BF.

∵AB=AC,∴α=β.∴∠BAC=∠180°﹣2α.

∵∠BAE=2α,∴∠BAF=180°﹣2α.∴∠BAF=∠BAC.

在△BAF和△BAC中,AF=AC, ∠BAF=∠BAC, BA=BA,

∴△BAF≌△BAC(SAS).∴∠F=∠C,BF=BC.

∵BE=BC,∴BF=BE.∴∠BEA=∠F=∠C=α.

(2)∠BAE=α+β或∠BAE+α+β=180°.

①如图3,延长CA到点F,使得CF=AE,

∵BC=BE,∠AEB=∠ACB=α,

∴△CBF≌△EBA(SAS).

∴AB=BF,∠BAE=∠F,

∴∠F=∠FAB=∠BAE,

过点B分别作BG⊥CF于点G,BH⊥AE于点H,

可得BG=BH.∴∠FAB=∠BAE=α+β.

②如图4,因为∠BAC>90°,所以若以B为圆心,BC长为半径作圆与直线AD一定有两个交点,当第一种情况成立时,必定存在一个与它互补的∠BAE'.

可知:∠BAE'=180°﹣∠BAE=180°﹣(α+β).

综上所述,这三个角之间的关系有两种,∠BAE=α+β或∠BAE+α+β=180°.

故答案为:∠BAE=α+β或∠BAE+α+β=180°.

2.(2019秋玄武区校级期末)[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片,小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片,经过多次操作发现,如图1,以斜边AB为直径作圆,刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆,称之为最小覆盖圆.

[理解应用]

我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形,请你通过操作探究解决下列问题

(1)如图2.在△ABC中,∠A=105°,试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法,保留作图痕迹).

(2)如图3,在△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,AB=2√3,请求出△ ABC 的最小覆盖圆的半径;

[拓展延伸]

(3)如图4,在△ABC中,已知AB=15,AC=12,BC=9,半径为1的⊙O在△ABC的内部任意运动,则⊙O覆盖不到的面积是_______.

【解析】本题考查了尺规作图,圆的有关性质,图形的面积等,解题关键是能将不规则的图形通过减拼转化为规则图形的面积之和或差.

(1)如图2,作BC的垂直平分线,交BC于点O,以点O为圆心,OC的长为半径作圆即可;

(2)如图3,△ABC的最小覆盖圆为△ABC的外接圆⊙O,

连接OA、OB,过O作OH⊥AB,

∵△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,∴∠C=60°,∴∠AOB=2∠C=120°,

∵OA=OB,∴AH=BH=1/2AB,

∵AB=2√3,∴AH=√3,∴∠AOH=60°,∴AO=r,OH=1/2r,

∴(√3)2+(1/2r)2=r2,∴r=2,

∴△ABC的最小覆盖圆的半径为2;

(3)在△ABC中,AB=15,AC=12,BC=9,

∴AC^2+BC^2=12^2+9^2=225,AB^2=225,

∴AC^2+BC^2=AB^2,∴△ABC是直角三角形,

在图4﹣1中,将⊙O及其覆盖不到的面积通过减拼可以得到图4﹣2,

则△DEF∽△ABC,且⊙O是△DEF的内切圆,M,N,P分别是切点,

∴∠OMF=∠F=∠FNO=90°,∴四边形ONFM是矩形,

∵OM=ON,∴矩形ONFM是正方形,

∴OM=MF=FN=ON=1,

设EF=3x,则DF=4x,DE=5x,

∴DM=DP=4x﹣1,NE=PE=3x﹣1,

∵PE=DP+PE,∴(4x﹣1)+(3x﹣1)=5x,

解得,x=1,

∴EF=3,DF=4,DE=5,

∴⊙O覆盖不到的面积S=S△DEF﹣S⊙O=1/2×3×4﹣π×12=6﹣π,

故答案为6﹣π.

类型2 思路 提供型

3.(2019兰州中考题)通过对下面数学模型的研究学习,解决问题.

【模型呈现】

如图,在Rt△ABC,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE.

我们把这个数学模型称为“K型”.

推理过程如下:

【模型应用】

如图,在Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,∠DAE=∠ABC,DE=1,连接DO交⊙O于点F.

(1)求证:AD是⊙O的切线;

(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG^2=GOGB.

【解析】本题考查了三角形外心定义,圆的切线判定,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,垂径定理,等腰三角形三线合一,圆周角定理.其中第(2)题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键.

(1)因为直角三角形的外心为斜边中点,所以点O在AB上,AB为⊙O直径,故只需证AD⊥AB即可.由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可证得∠DAE+∠BAC=90°,而E、A、C在同一直线上,用180°减去90°即为∠BAD=90°,得证.

(2)依题意画出图形,由要证的结论FG2=GOGB联想到对应边成比例,所以需证△FGO∽△BGF.其中∠FGO=∠BGF为公共角,即需证∠FOG=∠BFG.∠BFG为圆周角,所对的弧为弧BC,故连接OC后有∠BFG=1/2∠BOC,问题又转化为证∠FOG=1/2∠BOC.把DO延长交BC于点H后,有∠FOG=∠BOH,故问题转化为证∠BOH=1/2∠BOC.只要OH⊥BC,由等腰三角形三线合一即有∠BOH=1/2∠BOC,故问题继续转化为证DH∥CE.联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB,得到AE=BC=2,AC=DE=1,即能求AD=AB=√5.又因为O为AB中点,可得到AO/DE=√5/2=AD/AE,再加上第(1)题证得∠BAD=90°,可得△DAO∽△AED,所以∠ADO=∠EAD,DO∥EA,得证.

类型3 操作型

4.(2019秋西城区期末)我们熟知的七巧板,是由宋代黄伯思设计的“燕几图”(“燕几”就是“宴几”,也就是宴请宾客的案几)演变而来.到了明代,严澄将“燕几图”里的方形案几改为三角形,发明了“蝶翅几”.而到了清代初期,在“燕几图”和“蝶翅几”的基础上,兼有三角形、正方形和平行四边形,能拼出更加生动、多样图案的七巧板就问世了(如图1网格中所示)

(1)若正方形网格的边长为1,则图1中七巧板的七块拼板的总面积为_______.

(2)使用图1中的七巧板可以拼出一个轮廓如图2所示的长方形,请在图2中画出拼图方法(要求:画出各块拼板的轮廓).

(3)随着七巧板的发展,出现了一些形式不同的七巧板,如图3所示的是另一种七巧板.利用图3中的七巧板可以拼出一个轮廓如图4所示的图形;大正方形的中间去掉一个小正方形,请在图4中画出拼图的方法(要求:画出各块拼板的轮廓).

【解答】:(1)七块拼板的总面积=(2√2)×2√2=8,

故答案为8.

(2)答案如图所示.

(3)答案如图所示.

2.(2019秋莆田期末)如图1,顶角为36°的等腰三角形称为锐角黄金三角形.它的底与腰之比为k=(√5 -1)/2≈0.618,记为k.受此启发,八年级数学课题组探究底角为36°的等腰三角形,也称钝角黄金三角形,如图2.

(1)在图1和图2中,若DE=BC,求证:EF=AB;

(2)求钝角黄金三角形底与腰的比值(用含k的式子表示);

(3)如图3,在钝角黄金三角形ABC中,AD,DE依次分割出钝角黄金三角形△ADC,△ADE.若AB=1,记△ABC,△ADC,△ADE分别为第1,2,3个钝角黄金三角形,以此类推,求第2020个钝角黄金三角形的周长(用含k的式子表示).

【解析】(1)作BH平分∠ABC交AC于点H,由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得∠BHC=∠ACB=72°,可得BC=BH=DE,由“AAS”可证△HAB≌△DEF,可得EF=AB;

(2)如图2,在EF上作点H,使得ED=EH,

则△EDH为锐角黄金三角形,∴∠EDH=∠EHD=72°,DH/DE=k,

∵∠EHD=∠F+∠HDF,∴∠F=∠HDF=36°,∴HF=HD,

∵DH/DE=k,∴DH=kDE

∴HF=HD=kDE,∴EF=(k+1)DE,∴EF/DE=k+1,

∴钝角黄金三角形底与腰的比值为k+1.

(3)若钝角黄金三角形底与腰的比值为k+1.

第1个钝角黄金三角形ABC的周长为k+3;

[方法总结]

对于这类问题来说,如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话,往往浪费大量时间也没有思路,得不偿失。与几何图形有关的阅读理解题,解题时应同时从题目的文字叙述中和图形中挖掘有用信息,所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。

要想正确解决此类问题,必须仔细地阅读给定材料,深入理解其含义,再进行分析归纳,弄清材料中隐含什么新的数学知识、结论,或提示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法;然后展开联想,将获得的新信息、新知识进行迁移和运用,解决题目中提出的问题;最后可以与范例的运用进行比较,防止出错。旨在通过培养和提高学生的数学阅读理解能力,这类题目考查考生的综合素质并且侧重于考察数学思维能力和创新意识,今后的中考试题有进一步加强的趋势。